AC米兰官网-达尔文动力学中随机动力学等式和稳态热的出现

　　AC米兰·(中文)官方网站-Milan brand-达尔文和华莱士最初提出的进化动力学，在本文中被称为达尔文动力学，已被发现普遍适用于生物学。统计力学和热力学在物理学中虽极为成功，但一直缺乏一致的动力学理解。本文从形式角度探讨了热力学与达尔文动力学及其相关主题之间的联系。我们首先证明，达尔文动力学中的随机性意味着温度的存在，从而导致玻尔兹曼-吉布斯型的正则分布。以相对熵为基准，热力学第二定律在不依赖详细平衡条件的情况下被动态证明，并且无论系统大小均成立。特别是，破坏详细平衡条件的动力学成分不会贡献于相对熵的变化。本文明确讨论了当前关注的两类随机动力学等式：一种基于费曼-卡茨公式，另一种是爱因斯坦关系的推广。两者均可直接通过实验检验。我们的研究表明，达尔文动力学在逻辑上为统计力学和热力学提供了一个简单而直接的起点，它与主导物理科学的保守动力学互补且一致。目前的研究表明，存在一个统一的随机动力学框架，既适用于衡也适用于远离平衡的状态。

　　关键词：非平衡过程，达尔文动力学，广义爱因斯坦关系，无详细平衡，随机动力学等式

　　任何知识领域理论研究的主要目标之一，就是找到使该主题呈现最大简洁性的视角。 ——约西亚·威拉德·吉布斯（1839–1903）

　　达尔文和华莱士提出的关于生物学进化的动力学理论，已经形成了理解生物现象的一个半世纪以来的基础理论结构。我们在本文中将其称为“达尔文动力学”。它已经通过成千上万的实地观察和实验室实验得到证实，并扩展到生物学的几乎所有层面。在生物学中，没有已知的有效证据反对它，就像物理学中的相对论和量子力学一样。我们向读者推荐一位在物理科学领域著名的研究人员对这一动力学的简洁且易于理解的论述。它的本质可以用生物学家最熟悉的单字方程来概括：通过变异和选择实现进化。

　　在其最初的表述中，这一理论完全是叙述性的。没有使用任何数学方程。生物学家和其他人一直在努力澄清其含义，并使其更加定量化，从而更具预测性。在过去的100年中，已经取得了巨大的进展。在达尔文动力学中出现的两个最重要的概念是费希尔的自然选择基本定理，它将变异与进化达到最优值的速度联系起来，以及赖特的适应性景观，它将最终选择描述为一个巨大遗传空间中景观的势能函数。如今，这一领域的数学应用与任何数学复杂的自然科学领域相当。达尔文动力学是一个真正的非平衡随机动力学理论，它支配着导致地球上复杂生物（如甲烷杆菌和智人）的过程。

　　对于物理学家和化学家来说，这个方程看起来类似于一个已经存在了100年的方程，[21,22] 由朗之万在达尔文和华莱士之后50年提出。关于朗之万方程，有一些困难的问题，比如缺乏详细的平衡条件，将在下文讨论。对于数学家和生物学家来说，它以随机微分方程的标准形式出现。[23,24] 我们将在下一节回到上述方程作为方程（1）。然而，一个立即出现的问题：虽然我们可以用方差矩阵 D 来表示进化中的变异，那么赖特的适应性景观和相应的势能函数在哪里呢？

　　在过去几十年中，物理科学领域对非平衡过程持续保持兴趣，参见例如参考文献[21]，[25]至[29]，以及[34]至[36]。重要的目标是将其与平衡过程联系起来，并阐明在确定性和守恒动力学中熵和热力学第二定律的作用，并平衡单个粒子轨迹与集合分布之间的描述。在这一背景下，我们还应该提到自玻尔兹曼以来为理解可逆动力学中相关的时间方向所做的巨大努力，例如在参考文献[37]中。

　　从哲学角度来看，对统计力学和热力学基础的兴趣也很活跃。[38,39] 与本文相关，以下三个基本问题已被明确提出：[40] 在何种意义上可以说热力学被归约为统计力学？ 如何从时间反演不变的动力学中推导出非时间反演不变的方程？ 如何为“接衡”或不可逆过程提供理论基础？

　　鉴于从保守动力学、牛顿动力学或量子力学中缺乏对上述问题的逻辑一致的答案，[41,42] 应该希望从完全不同的角度来看待这些问题。

　　由于实验技术的最新进展，特别是在纳米技术方面，许多以前无法进入的时间和空间领域现在已被积极探索。人们对随机现象的兴趣重新燃起，范围从物理学，[41,43-51] 化学，[52-55] 材料科学，[56-58] 生物学，[19,59-61] 以及其他领域。[24] 这些工作展示了物理和生物科学之间持续的思想交流。特别是，定量的实验和理论物理方法已经被应用于生命细胞和分子过程的研究中，这非常有用。另一方面，我们认为考虑思想流动的相反方向至少具有同等价值。达尔文动力学可能会在物理科学中产生新的见解。

　　例如，达尔文动力学可以以其独特的方式解决前一小节中的所有三个基本问题。对于第一个问题，只要统计力学是根据玻尔兹曼-吉布斯分布来制定的，如下所示，达尔文动力学确实意味着这种分布，并且统计力学和热力学的主要结构是等效的。对于第二个问题，发现热力学基于能量守恒（第一定律）和卡诺循环。它处理的是平衡状态或稳态的数量。没有动力学的角色。因此，没有时间方向的要求：保守和非保守动力学都可以与之一致。卡诺循环和第一定律在达尔文动力学中对动力学性质的明确独立性将在下面变得清晰。因此，热力学与物理中占主导地位的时间反演动力学之间没有冲突。对于第三个也是最后一个问题，达尔文动力学具有适应性行为[1,2,5-7,9,11,14,16-20]，并且内在地建立了时间方向。这是由于达尔文动力学明确随机或概率性质。这种行为被总结为自然选择的基本定理[5]，并进一步扩展为F定理。[19] 因此，达尔文动力学提供了一个通用框架来解决“接衡”的问题。

　　本文的其余部分组织如下。在第2节中，将总结达尔文动力学。在第3节中，将展示统计力学和正则系综如何自然地从达尔文动力学中得出。在第4节中，将探讨与热力学的联系。在那里，将展示零定律、第一定律和第二定律直接而自然地从达尔文动力学中得出，但第三定律则不然。在第5节中，将讨论最近发现的两种类型简单但看似深刻的动力学等式。一种基于费曼-卡克公式，另一种是爱因斯坦关系的推广。在第6节中，将对当前思想的范围进行评估。

　　在讨论开始时，应提出两个免责声明。首先，我们将主要关注理论结构，而不是具体细节。具体来说，我们将关注在各种方程中应该呈现哪些结构元素，在哪些地方可以达成共识，而不是每个元素的具体形式。事实上，许多详细形式仍然是未知的，并且是活跃的研究课题。其次，尽管已经尽可能地使表述清晰和一致，但不会提供严格的数学证明。

　　在现代遗传学的背景下，达尔文的进化论可以口头总结为“进化是遗传变异及其通过淘汰和选择进行排序的结果”。在这个动态过程中，随机性和选择同样重要，正如费希尔的自然选择基本定理[5]和赖特的适应性景观[6]所编码的那样。在适当的时间尺度下，达尔文动力学可以用以下随机微分方程表示[8,12,19]：

　　在我们研究生物体中遗传开关的鲁棒性[63,64] 时，发现了一个克服这些困难的构造性方法：方程 (1) 可以转化为以下随机微分方程：

　　动力学变量的简化通常在著名的斯莫卢霍夫斯基极限中进行。在上述推导中，我们假设质量为零，同时保持其他参数，包括摩擦和转置矩阵，是有限的。然而，在斯莫卢霍夫斯基极限中，摩擦矩阵被认为是无限的，同时保持所有其他参数有限。这两种极限通常不是可交换的。

　　方程 (12) 的稳态配置解确实由方程 (11) 给出。有趣的是，指出稳态分布函数，方程 (11)，并不依赖于摩擦矩阵 R 和转置矩阵 T。此外，我们强调在达到这一结果时没有假设详细的平衡条件。此外，这里对加性和乘性噪声都进行了同等对待。

　　下标 q 表示平均是在相空间上进行的，而不是在方程 (1) 或 (4) 中的噪声上。方程 (17) 是统计力学的主要堡垒。在统计力学中工作可以分为两种类型：从外部征服堡垒，即制定方程 (17) 的实例；以及从堡垒内部征服更多领土，即应用方程 (17)。

　　从保守动力学推导出方程 (16) 的正则分布已经付出了巨大的努力。其中最好的结果之一是对于大系统这种分布的典型性，这已经在玻尔兹曼的尝试中进行了。[78] 另一方面，所有实验都表明方程 (16) 对于大系统和小系统都具有普遍有效性，因此比典型性更普遍。我们注意到达尔文动力学与此类实验观察结果一致。

　　我们的公式提出了一个基本问题：对于给定的福克-普朗克方程，是否可以恢复相应的随机微分方程，形式如方程 (4)（逆问题）？也就是说，是否存在局部和全局动力学之间的一一对应关系，这种关系通过势函数连接？答案是肯定的，执行此操作的程序隐含在方程 (12) 中，将在下文中展示。

　　在群体遗传学和其他领域中，还有一种主要的模型，它在相空间和/或时间上是离散的。在这种随机动力学系统中存在势函数已经被令人信服地论证过。[88-90] 这里我们不会详细讨论它，只是引用一些相关的结果。这样做的原因有： (i) 从数学上已知，任何离散模型都可以根据嵌入定理精确地由连续模型表示，[91-93] 尽管有时这样的过程可能将有限维度问题转化为无限维度问题； (ii) 通过粗粒化、平均过程，群体遗传学中的离散动力学通常可以简化为连续的，如扩散方程或福克-普朗克方程。[8,21,35,94,95] 在群体遗传学和其他领域中，人们普遍认为扩散近似通常是一个良好的近似。

　　给定玻尔兹曼-吉布斯分布，可以根据方程 (15) 计算配分函数。因此，在稳态下，原则上所有可观测量都可以通过方程 (17) 得知。然后，人们可能会想知道我们能从热力学中了解系统什么。

　　首先，它具有实际价值。在许多情况下，配分函数的计算是困难的，如果可能的话。如果有替代方案将是理想的。热力学基于系统的一般性质，如对称性，为我们提供了一组有用的可观测量之间的关系。可以利用其他可观测量的信息来推理某个可观测量的精确信息。其次，它具有理论价值。热力学的范围远比物理学中的许多其他领域更广泛。它是经典物理学中唯一一个不仅在量子力学和相对论中幸存下来，而且变得更加强大的领域。此外，热力学展现出一种形式上的美感、优雅和简单性，这在美学上是非常令人满意的。它的影响远远超出了物理科学，因为它也基于概率和统计。

　　有许多优秀的书籍从统计力学中推导出热力学。例如，可以在参考文献 [96] 中找到全面的处理。在参考文献 [97] 或 [98] 中可以找到更易于读者理解的处理。从热力学角度出发的简明和初级处理已在参考文献 [99] 和 [100] 中提出。参考文献 [101] 提出了关于接近稳态的现代讨论。参考文献 [102] 从稳态热力学的角度提供了全面的回顾，但“温度”被淡化了。目前的演示在多个地方与之重叠。然而，有一个主要区别：这里明确讨论了“温度”的作用。参考文献 [103] 详细讨论了热力学与朗之万动力学之间的联系，强调了详细平衡和斯特拉托诺维奇的随机积分。上述演示已经表明，没有必要局限于斯特拉托诺维奇方法。

　　本节的主要目标是展示达尔文动力学确实意味着热力学的主要结构，尽管乍一看似乎没有联系，因为达尔文动力学处于非平衡过程的极端。鉴于上述出色的论述，目前的讨论可能显得不完整和武断。对于热力学的系统讨论，作者真诚地鼓励读者查阅这些书籍和/或她/他最喜欢的任何书籍。然而，我们希望展示可以获得热力学的逻辑一致的动态理解。具体来说，明确证明缺乏详细平衡条件并不妨碍我们获得热力学。

　　从达尔文动力学出发，稳态分布由系统的赖特进化势函数 ϕ 和噪声强度的正参数 θ 决定的玻尔兹曼-吉布斯类型分布，即方程 (11) 给出。因此，达尔文动力学暗示了热力学零定律的类比：存在一个类似温度的量，由正参数 θ 表示。这个“温度” θ 是“绝对的”，因为它不依赖于系统的物质细节。显然，“温度”的存在是达尔文动力学中随机性的直接结果，如方程 (1) 到 (6) 所示。

　　在某些情况下，可能需要一个有效的温度。[104] 如果无法事先确定，可以使用方程 (33) 来找到非平衡过程中的“温度”。[105] 玻尔兹曼-吉布斯分布自然地包含了热力学量的凸性。对系统的大小没有限制。然而，即使是有限系统，也可能发生相变，因为可以在势函数中构建奇异行为，并通过外部量进行控制。

　　卡诺热机的美妙之处在于其效率完全独立于任何材料细节。它展示了热力学最根本的性质，并且是玻尔兹曼-吉布斯分布函数和第一定律的直接结果。它揭示了自然界的一种属性，这种属性可能不包含在保守动力学中，至少从牛顿动力学的角度来看，在经过150多年的深入研究之后，对许多人来说仍然不明显。[41] 另一方面，它在达尔文动力学中自然地隐含着。

　　在讨论了各种热力学过程之后，让我们回到第3.1小节中讨论的在势函数中确定任意函数的问题，这现在直接与自由能相关。确定 的最小规范条件可以扩展为：

　　第二定律有许多版本。这里我们从稳定性角度引用两个等价版本，这将构成本小节讨论的框架。

　　最小自由能陈述 给定势函数和温度，如果分布是玻尔兹曼-吉布斯分布，则自由能达到其最低可能值。

　　最大熵陈述 给定势函数及其平均值，当分布是玻尔兹曼-吉布斯分布时，熵达到其最大值。

　　第二定律的后一个版本是最有影响力的。它的逆命题，即所谓的最大熵原理，在概率推理中得到了广泛使用，[106] 不仅在物理和生物科学内部，也在外部。[107,108]

　　然而，如果我们从势函数中吸取教训，即只有相对值是重要的，我们可以在函数空间中引入一个参考点到一般熵定义中。之前提到的参考熵的一个定义是[65]

　　第一项不依赖于外部参数，但第二项却依赖于外部参数。这表明熵依赖于实现低温的具体控制过程：不同的过程会导致不同的集合，从而在低温下产生不同的熵值。热力学第三定律指出，在温度趋近于零的极限情况下，不同过程之间的熵差应为零。因此，本文所表述的达尔文动力学并不蕴含热力学第三定律。

　　对于这一结论不应感到意外，因为此处的达尔文动力学本质上是“经典”的。同样的结论也可以从经典的牛顿动力学中得出。这意味着在达尔文动力学框架内，可以逻辑自洽地设想“温度”为零的极限情况。

　　然而，当引入量子力学后，理论便与热力学第三定律相符，并得出更强的结论：不仅不同过程之间的熵差应为零，在绝对零度时熵本身也应为零。因此我们可以得出结论：一般而言，完全忽略噪声是不可行的：温度不可能真正为零。当噪声足够小时，可能会出现新的物理现象。[113] 换一种说法，似乎存在一个“底部”，在其附近仍存在某种物理实在。

　　需要指出的是，在本文所提出的达尔文动力学框架中，特别是方程（4），反称矩阵的存在提示了一种自然定义泊松括号的途径。因此，有可能通过遵循通常的正则量子化程序，将达尔文动力学推广至量子领域，或许还可借鉴耗散量子动力学的相关思路。[87,114,115] 研究表明，通过这种方式可以重新获得热力学第三定律。[116,117]

　　综上所述，在本节中我们已表明，除了热力学第三定律之外，热力学的所有其他定律均可由达尔文动力学推导得出。关于应采用哪种随机积分方法——伊藤积分、斯特拉托诺维奇–菲斯克积分、亨吉–克里蒙托维奇积分，或其他方法——才能与热力学第二定律保持一致的问题，现已得到解决：任何一种方法都可以分解为三个部分：由反对称矩阵 Q 表示的保守动力学，由非负对称矩阵 D 表示的非保守动力学，以及势函数 φ。因此，所有这些方法都与热力学第二定律相容。

　　我们还注意到，基于热力学关系，即基本关系式（29）、能量守恒式（30）、普适热机效率式（41），并结合广延量的可加性以及温度定义式（33），可以推导出玻尔兹曼–吉布斯分布。通过这种方式，统计力学与热力学是等价的。

　　热力学研究的是稳态性质。其关键性质由式（11）的玻尔兹曼–吉布斯分布决定，该分布仅依赖于达尔文动力学中的赖特演化势函数 φ 和“温度” θ。其余关系则由系统的各种对称性决定。从中无法推理出任何动力学信息。这一特征在已有文献中已被注意到。[37] 特别是，无法从热力学中恢复决定局部时间尺度的两个量的信息：摩擦矩阵 R 和横向矩阵 T。从这个意义上说，热力学中“时间”丢失了。因此，热力学不包含时间的方向性，因而与时间可逆的保守型牛顿动力学是一致的。

　　我们已经探讨了达尔文动力学在统计力学和热力学中的稳态结果。在本节中，我们将探讨其一般的动力学后果。将讨论两类最近发现的动力学等式：一类基于费曼–卡茨公式，另一类是爱因斯坦关系的推广。关于路径积分表述的背景知识，强烈推荐费曼清晰易懂的讲解。[118]

　　此前的讨论表明，玻尔兹曼–吉布斯分布在其中起着主导作用。因此，很自然地应采用一种能够最直接地体现玻尔兹曼–吉布斯分布（或尽可能接近）的表示方法。这一思路下的标准做法如下：首先，选取演化算符 L 的主导部分，其余部分记为 δL。本小节将总结实施这一程序的一般方法。

　　我们已经注意到玻尔兹曼–吉布斯分布在其中所起的特殊作用，即公式（11）。特别是，它不依赖于摩擦矩阵 R 和横向矩阵 T。显然，当 λ = λ(t) 时，瞬时的玻尔兹曼–吉布斯分布为：

　　这里我们明确指出参数 λ 是时间依赖的。这个分布函数不再是方程 (12) 中福克-普朗克方程的解。然而，由于参数 λ 的时间依赖性，将会出现从这个瞬时玻尔兹曼-吉布斯分布函数的转变。虽然在经典力学中这样的转变可能难以想象，但在量子力学中可以很容易地合理化，因为状态的离散性。一个这样研究得很好的模型是耗散的朗道-曾纳转变。[114,122,123] 一个有趣的问题是，这些转变是否可以“逆转”，使得瞬时分布确实是另一个但密切相关的演化方程的显式解。这意味着原始的福克-普朗克方程必须以特殊的方式修改以成为一个新的方程。实际上，对于任何函数 ，都可以找到这个修改后的演化方程，其形式为：

　　这个优雅的等式将稳态量 与动态过程中所做的功联系起来。这种参数化形式最初由 Jarzynski 发现。[124] 应该强调的是，对于由方程 (12) 支配的系统，在时间 t 时没有假设稳态。事实上，例如，在 Landau-Zener 转变的情况下，已知它不是稳态。[114,123]

　　这个等式已经被不同的作者从不同的角度讨论和扩展。[125-132] 这个等式与费曼-卡克公式的联系首次在参考文献 [126] 中明确指出。也有对这个等式的实验验证。[133] 这种类型的等式最近被回顾。[134]

　　这里可以提出三点。首先，这里提出的 Jarzynski 等式的推导在有和没有详细平衡条件的情况下都是有效的，无论是加性噪声还是乘性噪声。它只有一个结果。其次，对于 Jarzynski 等式，D 和 Q 都不进入等式，而动力学显然由这些矩阵决定。第三，费曼-卡克公式可以用来生成更多的动态等式，如前所述。

　　根据这些观察，我们可以推理出两个直接但有些令人惊讶的物理结果。首先，“温度”也可以是时间依赖的。因此，可以通过明确执行该过程为“温度”建立功等式，从而将工作关系扩展到不同的动态领域。其次，Jarzynski 等式的有效性不依赖于方程 (53) 中算子 L 的细节，只要稳态存在即可。这表明有色噪声可以进入方程 (53)。事实上，我们已经知道这样的例子。[87,114,123] 方程 (4) 表达的动态方程也允许直接扩展到有色噪声。第三，给定由可逆过程确定的势函数，如在第4.3小节(i)中讨论的案例，并且使用费曼-卡克公式我们有[120,135,136]

　　贾尔津斯基等式可用于检验我们对相关动力学量理解的一致性。例如，若出现偏差，可能表明势函数 φ 中存在遗漏的项。

　　贾尔津斯基等式将玻尔兹曼–吉布斯分布以及由此产生的正则系综置于核心地位。它们仅仅是达尔文动力学的自然结果。然而，如果我们从保守的牛顿动力学出发，合适的系综应是微正则系综。任何仅为势函数或哈密顿量的函数的分布函数，都是刘维尔方程的解。从这一观点来看，玻尔兹曼–吉布斯分布及其相关的温度显得是任意的：它只是无限多种可能性中的一种。关于公式（62）普适性的问题，文献中已对此提出过质疑。[137] 在牛顿动力学框架内，至今尚未对此问题给出令人满意的解答。相反，人们采取的是一种“实验性态度”：只要这么做，并确保过程正确，就能得到那个结果，而且它是有效的。

　　然而，达尔文动力学为在推导贾尔津斯基等式时使用玻尔兹曼–吉布斯分布提供了先验的合理性，从而完全证明了其正当性。

　　已被使用。这一普遍而简单的动力学等式被称为广义爱因斯坦关系。[70] 如果满足细致平衡条件，即若 T = 0 或 Q = 0，则上述关系退化为 RD = 1，这是爱因斯坦一个世纪前发现的，[138] 此后被称为爱因斯坦关系。在不同情境下，类似的关系早先由能斯特（Nernst）、[139] 普朗克（Planck）、[140] 汤森（Townsend）、[141] 和萨瑟兰（Sutherland）[142] 独立地提出。与贾尔津斯基等式所体现的动力学等式类似，广义爱因斯坦关系是达尔文动力学中内含的玻尔兹曼–吉布斯分布和正则系综的必然结果。

　　在实验上，方程（6）中的所有物理量均可独立测量。因此，这一广义爱因斯坦关系应在不满足细致平衡的条件下接受实验检验，即当反对称矩阵 T 不为零时。虽然在生物学的进化过程中，数据可以通过当前的动力学结构进行组织，[8] 但相关参数通常由自然界固定。我们需要的是那些摩擦矩阵 R、横向矩阵 T、势函数 φ 和“温度” θ 均可通过实验调控的情形。

　　为简化起见，我们考虑一个利用现有技术即可实现的非平衡实例：一个带电的纳米粒子或大分子、电子或质子，其电荷记为 e，在强而均匀的磁场 B 中，并浸没在具有粘滞系数 η 的液体中。事实上，类似的情形已在实验中被研究过。[143] 此处我们仅限于二维情况（n = 2）。此时对应的达尔文动力学方程（4）即为描述“无质量”带电粒子在外加洛伦兹力作用下的朗之万方程：[144]

　　这恰好是一个具有扩散矩阵 D 的扩散方程。D 和 Q 均可由广义爱因斯坦关系（即公式（6））得到：

　　在典型情况下，尽管所有物理量都可以通过实验测量，但摩擦系数对磁场的依赖性可能较弱。因此，实验上可能需要重点关注在无势场情况下、存在磁场时的扩散行为。此时，分布函数的演化由标准扩散方程所支配：

　　在本文中，我们展示了统计力学和稳态热力学是达尔文动力学的自然结果。我们探讨了两类普遍的随机动力学等式，二者均可通过实验直接检验。除一个问题外，所有内容看起来都完全自洽。物理学中的传统观点认为，我们应当从保守动力学出发，而非达尔文动力学。这一观点在过去150年中确实得到了强有力的实验和历史支持，至今仍是当前研究的课题。[41,42,49,78] 这一令人困扰的问题可归结为尝试回答如下问题：保守动力学的自然结果是微正则系综，而正则系综似乎只是其中无限多种可能性之一。那么，自然界是如何并且为何选择了正则系综和热力学第二定律？目前对此问题尚无共识。

　　从保守动力学出发，在非平衡情形下难以导出热力学第二定律，这或许促使我们考虑达尔文动力学。然而，还有一个更令人信服的理由：达尔文动力学是生物科学中最基本且最成功的动力学理论。此外，正如我们上文所展示的，热力学第二定律及其他非平衡性质均可自然地从中推导出来。从逻辑上看，它提供了一个简洁的出发点，其中必然包含着大量真实的物理内涵。

　　保守动力学与达尔文动力学似乎占据了自然界理论描述的两个对立端点。两者都取得了极大的成功，并且在许多方面表现出互补性。例如，已有研究注意到，在适当条件下，达尔文动力学与牛顿动力学可以相互推导。[19] 这种相互可还原性意味着什么？这种互补性背后是否存在更深层的原因？对这些问题的可能线索，或许已经蕴含在关于“多即不同”（more is different）的讨论中，[146,147] 功能空间的巨大性，[148] 宏观量子效应，[87] 以及宇宙与多重宇宙的关系等议题之中。[149] 本文的理论构建与分析可能为理解这些基本关系提供洞见，并激发进一步的研究。

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